LOS 57.a: One-Period Binomial Model의 기초

중급
1 Binomial Model의 구성 요소

One-period binomial model을 구성하기 위해 필요한 4가지 핵심 요소:

  1. 기초자산의 현재 가치 ($S_0$): 모델의 시작점이 되는 underlying asset의 현재 시장 가격
  2. 옵션의 행사가격 (Exercise Price, X): 옵션 만기 시 기초자산을 매수/매도할 수 있는 고정된 가격
  3. 상승/하락 수익률 ($R_u$, $R_d$): 한 기간 후 기초자산 가격이 변동할 수 있는 두 가지 시나리오
  4. 무위험 이자율 ($R_f$): 한 기간 동안의 risk-free rate
EXAMPLE: 기본적인 Binomial Tree 구성

현재 주가가 $50인 주식에 대한 call option을 생각해봅시다:

  • • 행사가격 (X) = $55
  • • 상승 시 주가 ($S_u$) = $60
  • • 하락 시 주가 ($S_d$) = $42
  • • 상승 수익률 ($R_u$) = $60/$50 = 1.20
  • • 하락 수익률 ($R_d$) = $42/$50 = 0.84
Binomial Tree Diagram
2 옵션 만기 가치 계산

Call option의 만기 가치는 다음과 같이 계산됩니다:

상승 시:

$$c_u = \text{Max}(0, S_u - X) = \text{Max}(0, \$60 - \$55) = \$5$$

하락 시:

$$c_d = \text{Max}(0, S_d - X) = \text{Max}(0, \$42 - \$55) = \$0$$
Q: 왜 binomial model에서는 단 두 가지 가격 변동만을 가정할까요?
A: 이는 모델의 단순화를 위한 것입니다. 실제로는 무한히 많은 가격 변동이 가능하지만, 짧은 기간 동안 두 가지 주요 시나리오(상승/하락)로 근사할 수 있습니다.

실무에서는 multiple-period binomial model을 사용하여 더 많은 가격 경로를 고려합니다. 기간을 무한히 작게 나누면 Black-Scholes 모델로 수렴하게 됩니다.

이 단순한 모델이 중요한 이유는 no-arbitrage pricing과 risk-neutral valuation의 핵심 개념을 명확히 보여주기 때문입니다.

No-Arbitrage Pricing Approach

고급

No-Arbitrage Portfolio 구성 원리

1

Portfolio 구성

• h개의 주식 매수 (long stock)

• 1개의 call option 매도 (short call)

• 초기 포트폴리오 가치: $V_0 = hS_0 - c_0$

2

Perfect Hedge 조건

상승과 하락 시 포트폴리오 가치가 동일:

$V_u = V_d$ → $hS_u - c_u = hS_d - c_d$

3

Risk-free Portfolio

확정적인 미래 가치를 가지므로 risk-free rate로 할인

$V_0 = \frac{V_u}{1 + R_f} = \frac{V_d}{1 + R_f}$

중요: No-arbitrage pricing의 핵심은 실제 확률을 몰라도 옵션 가치를 계산할 수 있다는 점입니다. 이는 perfect hedge를 구성할 수 있기 때문입니다.

Hedge Ratio 계산과 활용

고급
Hedge Ratio (h) 도출

Hedge ratio는 option 1개당 필요한 주식 수를 나타냅니다:

$$h = \frac{c_u - c_d}{S_u - S_d}$$

이전 예제에서: $h = \frac{\$5 - \$0}{\$60 - \$42} = \frac{\$5}{\$18} = 0.278$

즉, call option 1개를 매도할 때마다 0.278주를 매수해야 perfect hedge가 됩니다.

EXAMPLE: Call Option 가치 계산 (완전한 과정)

주어진 정보:

  • $S_0 = \$50$, $X = \$55$
  • $S_u = \$60$, $S_d = \$42$
  • $R_f = 3\%$ (한 기간)

Step 1: Hedge ratio 계산

$h = 0.278$ (위에서 계산)

Step 2: 헤지된 포트폴리오의 미래 가치

$V_u = 0.278(\$60) - \$5 = \$11.68$

$V_d = 0.278(\$42) - \$0 = \$11.68$

Step 3: 포트폴리오의 현재 가치

$V_0 = \frac{\$11.68}{1.03} = \$11.34$

Step 4: Call option 가치

$c_0 = hS_0 - V_0 = 0.278(\$50) - \$11.34 = \$2.56$

Hedge Ratio Sensitivity Analysis

LOS 57.b: Risk-Neutral Valuation

고급
Risk-Neutral Probabilities

Risk-neutral probabilities는 실제 확률이 아닌 가격 결정을 위한 가상의 확률입니다:

$$\pi_u = \frac{(1 + R_f) - d}{u - d}$$ $$\pi_d = 1 - \pi_u$$

여기서:

  • $u$ = up-move factor (예: 1.15)
  • $d$ = down-move factor (예: 0.87)
  • $R_f$ = risk-free rate
Q: Risk-neutral probabilities가 실제 확률과 다른데 왜 사용할까요?
A: Risk-neutral probabilities는 no-arbitrage 조건에서 도출되는 특별한 확률입니다:

1. 이론적 근거: 완전히 헤지된 포트폴리오는 위험이 없으므로, risk-free rate로 성장해야 합니다. 이 조건을 만족시키는 확률이 바로 risk-neutral probability입니다.

2. 실용적 장점: 실제 확률과 risk premium을 따로 추정할 필요 없이, 단순히 risk-free rate로 할인할 수 있습니다.

3. Risk-neutral world: 모든 투자자가 risk-neutral하다고 가정한 가상의 세계에서의 확률입니다. 실제로는 risk-averse하지만, 가격 결정에는 이 가상의 확률을 사용합니다.
주의: CFA Level 1 시험에서는 risk-neutral probabilities의 계산 자체는 출제되지 않을 가능성이 높지만, 개념과 활용은 이해해야 합니다.

실전 예제: Call & Put Option Valuation

고급
EXAMPLE 1: Risk-Neutral Valuation으로 Call Option 가치 계산

주어진 정보:

  • 현재 주가: $S_0 = \$30$
  • 행사가격: $X = \$30$
  • Up-move factor: $u = 1.15$
  • Down-move factor: $d = 1/u = 0.87$
  • Risk-free rate: $R_f = 7\%$

Step 1: 미래 주가 계산

$S_u = \$30 \times 1.15 = \$34.50$

$S_d = \$30 \times 0.87 = \$26.10$

Step 2: Risk-neutral probabilities

$\pi_u = \frac{(1.07) - 0.87}{1.15 - 0.87} = \frac{0.20}{0.28} = 0.715$

$\pi_d = 1 - 0.715 = 0.285$

Step 3: Option payoffs

$c_u = \text{Max}(0, \$34.50 - \$30) = \$4.50$

$c_d = \text{Max}(0, \$26.10 - \$30) = \$0$

Step 4: Expected value & 현재가치

$E[c] = (\$4.50 \times 0.715) + (\$0 \times 0.285) = \$3.22$

$c_0 = \frac{\$3.22}{1.07} = \$3.01$

EXAMPLE 2: Put Option Valuation

동일한 조건에서 put option 가치 계산:

Put option payoffs:

$p_u = \text{Max}(0, \$30 - \$34.50) = \$0$

$p_d = \text{Max}(0, \$30 - \$26.10) = \$3.90$

Expected value & 현재가치:

$E[p] = (\$0 \times 0.715) + (\$3.90 \times 0.285) = \$1.11$

$p_0 = \frac{\$1.11}{1.07} = \$1.04$

Option Value Comparison: Call vs Put

Module Quiz 57.1

실전
Quiz 1

To construct a one-period binomial model for valuing an option, are probabilities of an up-move or a down-move in the underlying price required?

  • A. No.
  • B. Yes, but they can be calculated from the returns on an up-move and a down-move.
  • C. Yes, the model requires estimates for the actual probabilities of an up-move and a down-move.
정답: A

해설: One-period binomial model은 replication과 no-arbitrage pricing에 기반하므로, 실제 확률을 알 필요가 없습니다. Perfect hedge를 구성할 수 있기 때문에 risk-neutral world에서 가격을 결정할 수 있습니다.

핵심 개념: No-arbitrage pricing은 실제 확률과 무관하게 옵션 가치를 결정합니다. 이는 complete market에서 replication이 가능하기 때문입니다.

Quiz 2

In a one-period binomial model based on risk neutrality, the value of an option is described as the present value of:

  • A. a probability-weighted average of two possible outcomes.
  • B. a probability-weighted average of a chosen number of possible outcomes.
  • C. one of two possible outcomes based on a chosen size of increase or decrease.
정답: A

해설: Risk-neutral valuation에서 옵션 가치는 두 가지 가능한 payoff의 risk-neutral probability-weighted average의 현재가치입니다.

계산 과정:
1. 상승/하락 시 option payoff 계산
2. Risk-neutral probabilities로 가중평균
3. Risk-free rate로 할인

Quiz 3

A one-period binomial model for option pricing uses risk-neutral probabilities because:

  • A. the model is based on a no-arbitrage relationship.
  • B. they are unbiased estimators of the actual probabilities.
  • C. the buyer can let an out-of-the-money option expire unexercised.
정답: A

해설: Risk-neutral probabilities는 no-arbitrage 관계에서 도출됩니다. 완전히 헤지된 포트폴리오는 risk-free rate로 성장해야 한다는 조건에서 이 확률들이 결정됩니다.

오답 분석:
B: Risk-neutral probabilities는 실제 확률의 unbiased estimator가 아닙니다.
C: 옵션의 exercise 여부와는 무관합니다.

시험 대비 핵심 정리

1

Binomial Model 구성요소

• 기초자산 현재가치 ($S_0$)

• 행사가격 (X)

• 상승/하락 가격 ($S_u$, $S_d$)

• 무위험이자율 ($R_f$)

2

Hedge Ratio

$$h = \frac{c_u - c_d}{S_u - S_d}$$

Perfect hedge를 위한 주식 수량

3

Risk-Neutral Valuation

$$\pi_u = \frac{(1 + R_f) - d}{u - d}$$

No-arbitrage 조건에서 도출되는 확률

4

Option Value

$$V_0 = \frac{E[V_T]}{1 + R_f}$$

Risk-neutral expected value를 risk-free rate로 할인

시험 함정 주의:
• Risk-neutral probabilities ≠ 실제 확률
• No-arbitrage pricing에 실제 확률 불필요
• Hedge ratio는 delta와 같은 개념
• Put과 Call의 payoff 구조 정확히 구분
• Multi-period model은 Level 2에서 다룸