LOS 56.a: Put-Call Parity for European Options
중급Put-Call Parity는 European options에 대한 무차익 조건(no-arbitrage condition)을 나타내는 관계식입니다. 이는 두 가지 포트폴리오 조합의 payoff가 동일함을 보여줍니다:
- • Fiduciary Call: Call option + Risk-free bond (만기 시 X 지급)
- • Protective Put: Stock + Put option
여기서: S = 주식 현재가격, p = put option 가격, c = call option 가격, X = exercise price, $R_f$ = risk-free rate, T = 만기까지 시간
1. S ≥ X인 경우 (주가가 행사가격 이상):
• Fiduciary Call: Bond는 X를 지급, Call은 (S - X)를 지급 → 총 payoff = X + (S - X) = S
• Protective Put: Stock은 S를 지급, Put은 무가치 → 총 payoff = S
2. S < X인 경우 (주가가 행사가격 미만):
• Fiduciary Call: Bond는 X를 지급, Call은 무가치 → 총 payoff = X
• Protective Put: Stock은 S를 지급, Put은 (X - S)를 지급 → 총 payoff = S + (X - S) = X
두 경우 모두 payoff가 동일하므로, 무차익 원칙에 의해 현재 가격도 동일해야 합니다.
Synthetic Securities 생성
고급Put-Call Parity 관계식을 재배열하면 각 개별 증권을 다른 세 증권의 조합으로 복제할 수 있습니다:
| Synthetic Security | Formula | 포지션 구성 |
|---|---|---|
| Synthetic Stock | $S = c - p + X(1 + R_f)^{-T}$ | Long call + Short put + Long bond |
| Synthetic Put | $p = c - S + X(1 + R_f)^{-T}$ | Long call + Short stock + Long bond |
| Synthetic Call | $c = S + p - X(1 + R_f)^{-T}$ | Long stock + Long put + Short bond |
| Synthetic Bond | $X(1 + R_f)^{-T} = S + p - c$ | Long stock + Long put + Short call |
Synthetic Securities 활용 전략
Sign Convention
• 양(+)의 부호: Long position (매수)
• 음(-)의 부호: Short position (매도)
Arbitrage 기회
실제 증권 가격과 synthetic 가격이 다르면 차익거래 기회가 발생합니다.
실무 활용
• 유동성이 낮은 증권의 가격 추정
• 헤지 전략 구성
• 상대가치 거래
주어진 정보:
- 현재 주가 (S) = $52
- Risk-free rate = 5% (연율)
- 3개월 put option (X = $50) 가격 = $1.50
- 3개월 call option 가격을 구하시오.
해답:
Put-Call Parity를 재배열하면:
따라서 3개월 만기, 행사가격 $50인 call option의 이론적 가격은 $4.11입니다.
LOS 56.b: Put-Call-Forward Parity
고급Put-Call-Forward Parity는 기초자산 대신 forward contract를 사용하여 도출됩니다. Forward contract와 risk-free bond의 조합으로 synthetic asset을 만들 수 있습니다.
Synthetic Asset 구성:
1. Forward contract long position (초기 비용 = 0)
2. Risk-free bond 매수 (만기 지급액 = $F_0(T)$)
만기 시점에서 bond의 수익금으로 forward contract에 따른 자산 매수 대금을 지불하므로, 이 조합은 자산을 직접 보유한 것과 동일한 효과를 냅니다.
Synthetic asset의 현재 비용 = $F_0(T)(1 + R_f)^{-T}$
또는
$$c_0 - p_0 = [F_0(T) - X](1 + R_f)^{-T}$$Put-Call Parity의 실무 응용
중급주요 응용 분야
Option Pricing
• 유동성이 낮은 옵션의 이론가격 계산
• Mispricing 탐지 및 arbitrage 기회 포착
• Implied volatility 추정
Risk Management
• Portfolio insurance 전략 구성
• Delta-neutral hedging
• Synthetic positions를 통한 exposure 조절
Trading Strategies
• Conversion/Reversal arbitrage
• Box spread 거래
• Relative value trading
실제 시장에서 Put-Call Parity가 성립하지 않을 때의 차익거래 전략:
| 상황 | 전략 | 수익 |
|---|---|---|
| $S + p > c + X(1+R_f)^{-T}$ | Protective put 매도, Fiduciary call 매수 |
$(S + p) - (c + X(1+R_f)^{-T})$ |
| $S + p < c + X(1+R_f)^{-T}$ | Protective put 매수, Fiduciary call 매도 |
$(c + X(1+R_f)^{-T}) - (S + p)$ |
기업 가치의 옵션 관점 분석
고급기업의 자본 구조를 옵션 이론으로 분석하면, equity holders와 debt holders의 claim을 각각 call option과 put option으로 볼 수 있습니다.
만기 시점 T에서의 주주 payoff:
• $V_T > D$인 경우: 주주는 $(V_T - D)$를 받음
• $V_T ≤ D$인 경우: 주주는 0을 받음 (limited liability)
이는 정확히 Max(0, $V_T - D$)로 표현되며, 이는 기업가치 $V_T$를 기초자산으로 하고 부채 D를 행사가격으로 하는 call option의 payoff와 동일합니다.
채권자의 payoff:
• $V_T > D$인 경우: D를 받음
• $V_T ≤ D$인 경우: $V_T$를 받음
이는 risk-free bond를 보유하고 put option을 매도한 포지션과 동일합니다.
기업 가치 옵션 분석의 시사점
Risk-Taking Incentive
주주는 call option holder로서 volatility 증가를 선호합니다. 이는 고위험 프로젝트 선호로 이어질 수 있습니다.
Credit Risk Assessment
채권의 credit spread를 implicit put option premium로 해석할 수 있습니다.
Capital Structure Decisions
최적 자본구조를 option value 극대화 관점에서 분석할 수 있습니다.
Module Quiz 실전 연습
실전The put-call parity relationship for European options must hold because a protective put will have the same payoff as:
해설: Put-call parity는 protective put (stock + put option)과 fiduciary call (call option + risk-free bond)의 payoff가 만기 시점에서 항상 동일함을 보여줍니다.
오답 분석:
A: Covered call은 stock + short call로 구성되며, payoff 구조가 다릅니다.
C: Uncovered call은 단순히 call option을 매도한 것으로, protective put과 payoff가 다릅니다.
The put-call-forward parity relationship includes:
해설: Put-call-forward parity는 $F_0(T)(1 + R_f)^{-T} + p_0 = c_0 + X(1 + R_f)^{-T}$로 표현되며, forward contract, call option, put option, 그리고 risk-free bond를 포함합니다. 기초자산 자체는 포함되지 않습니다.
핵심 포인트:
• Forward contract로 synthetic asset을 생성
• 기초자산(underlying asset) 자체는 관계식에 직접 포함되지 않음
• Risk-free bond는 두 개 포함됨 (하나는 forward를 위해, 하나는 exercise price를 위해)
A stock is currently trading at $100. A 1-year European call option with a strike price of $105 is trading at $8, and the risk-free rate is 3%. What should be the price of a 1-year European put option with the same strike price?
계산 과정:
Which of the following positions is equivalent to a synthetic long stock position?
해설: Synthetic stock position은 $S = c - p + X(1 + R_f)^{-T}$로 표현됩니다.
이는 다음을 의미합니다:
• Long call (c): 양의 부호 → 매수
• Short put (-p): 음의 부호 → 매도
• Long bond $X(1 + R_f)^{-T}$: 양의 부호 → 매수
1. 거래비용 (Transaction costs): 매수/매도 스프레드, 수수료 등이 arbitrage 수익을 잠식합니다.
2. Short sale 제약: 주식 차입 비용, uptick rule, 차입 가능성 제한 등이 있습니다.
3. Early exercise (American options): Put-Call Parity는 European options에만 정확히 적용됩니다.
4. 배당금 (Dividends): 배당금 지급 시 조정이 필요합니다.
5. Interest rate 변동: Risk-free rate가 고정되어 있지 않습니다.
이러한 요인들로 인해 실무에서는 "no-arbitrage band"라는 범위 내에서 가격이 형성됩니다.
핵심 요약 및 시험 대비 포인트
시험에 자주 나오는 핵심 개념
Put-Call Parity 기본 공식
$S + p = c + X(1 + R_f)^{-T}$를 암기하고 변형할 수 있어야 합니다.
Fiduciary Call vs Protective Put
• Fiduciary Call = Call + Bond
• Protective Put = Stock + Put
• 만기 payoff가 항상 동일함을 이해
Synthetic Securities
4개 증권 중 3개를 조합하여 나머지 1개를 복제
부호 규칙: (+) = Long, (-) = Short
Put-Call-Forward Parity
$F_0(T)(1 + R_f)^{-T}$가 synthetic asset의 비용임을 이해
적용 조건
• European options only
• 동일한 exercise price
• 동일한 만기
• No dividends (조정 필요)
• American options에는 Put-Call Parity가 정확히 적용되지 않음
• Dividends가 있을 때는 조정 필요 (S를 S - PV(dividends)로 대체)
• Forward parity에서 기초자산 자체는 포함되지 않음
• Synthetic position 구성 시 부호 실수 주의
• Risk-free rate는 연속복리가 아닌 이산복리 사용