LOS 55.a: Exercise Value and Time Value

기초
1 Option Value의 두 가지 구성요소
$$\text{Option Premium} = \text{Exercise Value} + \text{Time Value}$$
  • • Exercise Value (Intrinsic Value)
    옵션을 즉시 행사했을 때 얻을 수 있는 가치입니다. 만기 시점의 옵션 가치와 동일합니다.
  • • Time Value
    옵션 가격이 exercise value를 초과하는 금액입니다. 만기까지 남은 시간 동안 기초자산 가격이 유리하게 변할 가능성에 대한 가치입니다.
Q: 왜 만기 시점에는 Time Value가 0이 될까요?
A: 만기 시점에는 더 이상 기다릴 시간이 없기 때문입니다. 옵션의 time value는 "미래에 기초자산 가격이 유리하게 변할 가능성"에 대한 가치인데, 만기가 되면 이런 가능성이 사라집니다.

마치 복권을 생각해보세요. 추첨 전까지는 당첨될 "가능성"이 있어서 희망 가치가 있지만, 추첨이 끝나면 당첨 또는 낙첨이 확정되어 가능성의 가치는 0이 됩니다. 옵션도 만기에는 exercise value만 남게 됩니다.
Option Value Components Over Time

LOS 55.a: Option Moneyness

기초

Moneyness 개념 정리

C

Call Option Moneyness

• In-the-money (ITM): S > X (즉시 행사 시 이익)

• At-the-money (ATM): S = X (손익분기점)

• Out-of-the-money (OTM): S < X (행사 시 손실)

P

Put Option Moneyness

• In-the-money (ITM): X > S (즉시 행사 시 이익)

• At-the-money (ATM): X = S (손익분기점)

• Out-of-the-money (OTM): X < S (행사 시 손실)

EXAMPLE: Moneyness 계산

문제: July 40 call과 July 40 put이 있고, 현재 주가가 $37입니다. 각 옵션의 moneyness를 계산하세요.

Call Option:

S - X = $37 - $40 = -$3 → $3 out-of-the-money

Put Option:

X - S = $40 - $37 = $3 → $3 in-the-money

Exercise Value 계산 공식
Option Type Exercise Value 설명
Call Option Max(0, S - X) 현재가에서 행사가를 뺀 값과 0 중 큰 값
Put Option Max(0, X - S) 행사가에서 현재가를 뺀 값과 0 중 큰 값

LOS 55.b: European Option Bounds

중급
2 European Call Option의 최소값 경계

무차익 거래 논리를 통해 European call option의 최소값을 도출할 수 있습니다:

$$c_0 \geq \max\left[0, S_0 - X(1 + R_f)^{-T}\right]$$

여기서:

  • $c_0$ = 현재 시점의 call option 가격
  • $S_0$ = 현재 기초자산 가격
  • $X(1 + R_f)^{-T}$ = 행사가격의 현재가치
3 European Put Option의 최소값 경계

마찬가지로 European put option의 최소값:

$$p_0 \geq \max\left[0, X(1 + R_f)^{-T} - S_0\right]$$

여기서:

  • $p_0$ = 현재 시점의 put option 가격
  • $X(1 + R_f)^{-T}$ = 행사가격의 현재가치
  • $S_0$ = 현재 기초자산 가격
시험 팁: European option의 경계 가격은 암기해야 합니다. 유도 과정은 시험에 나오지 않지만, 이 공식을 사용하는 문제는 자주 출제됩니다.

European Option 가격 경계 요약

Max

최대값 (Maximum Value)

• Call Option: $S_0$ (기초자산 가격을 초과할 수 없음)

• Put Option: $X(1 + R_f)^{-T}$ (행사가격의 현재가치를 초과할 수 없음)

Min

최소값 (Minimum Value)

• Call Option: $\max[0, S_0 - X(1 + R_f)^{-T}]$

• Put Option: $\max[0, X(1 + R_f)^{-T} - S_0]$

LOS 55.c: Six Factors That Determine Option Prices

고급
옵션 가격 결정 6대 요인
Factor Call Option Put Option 설명
1. Stock Price (S) ↑ ↑ 증가 ↓ 감소 기초자산 가격이 상승하면
2. Exercise Price (X) ↑ ↓ 감소 ↑ 증가 행사가격이 상승하면
3. Risk-free Rate (Rf) ↑ ↑ 증가 ↓ 감소 무위험이자율이 상승하면
4. Volatility (σ) ↑ ↑ 증가 ↑ 증가 변동성이 증가하면
5. Time to Expiration (T) ↑ ↑ 증가* ↑ 증가* 만기까지 시간이 늘어나면
6. Dividends/Benefits ↑ ↓ 감소 ↑ 증가 배당/보유 혜택이 증가하면

* American option의 경우 항상 증가. European option의 경우 일반적으로 증가하나 예외 있음

Q: 왜 변동성(Volatility)이 증가하면 Call과 Put 옵션 가격이 모두 증가할까요?
A: 옵션은 "비대칭적 payoff" 구조를 가지고 있기 때문입니다.

핵심 원리: 옵션의 손실은 프리미엄으로 제한되지만, 이익은 무제한(call) 또는 매우 클 수 있습니다(put).

비유: 보험을 생각해보세요. 태풍이 자주 오는 지역(높은 변동성)의 보험료가 비싼 이유는 큰 손실이 발생할 확률이 높기 때문입니다. 옵션도 마찬가지로 가격이 크게 움직일 가능성(변동성)이 클수록 가치가 높아집니다.

변동성이 크면 주가가 크게 오르거나 내릴 확률이 모두 증가하는데:
• Call holder: 크게 오를 때는 이익, 크게 내릴 때는 손실이 프리미엄으로 제한
• Put holder: 크게 내릴 때는 이익, 크게 오를 때는 손실이 프리미엄으로 제한
Impact of Volatility on Option Value
Risk-free Rate 암기 팁: Call option 행사 시 미래에 돈을 지불하므로, 이자율이 높으면 그 지불액의 현재가치가 낮아져 call이 유리해집니다. Put option은 반대로 미래에 돈을 받으므로 이자율이 높으면 불리해집니다.

LOS 55.b: Option Payoff and Profit Analysis

중급
EXAMPLE: Call Option Profit/Loss Analysis

Given: Call option with premium = $5, Exercise price = $50

분석:

  • 손익분기점: $50 + $5 = $55
  • 최대 손실 (Buyer): $5 (프리미엄)
  • 최대 이익 (Buyer): 무제한
  • 최대 이익 (Writer): $5 (프리미엄)
  • 최대 손실 (Writer): 무제한
Call Option Payoff Diagram
Put Option Payoff Diagram
Risk Exposures 요약
Position Maximum Gain Maximum Loss
Long Call Unlimited Premium paid
Short Call Premium received Unlimited
Long Put X - Premium Premium paid
Short Put Premium received X - Premium

Module Quiz 실전 연습

실전
Quiz 1

The price of an out-of-the-money option is:

  • A. less than its time value.
  • B. equal to its time value.
  • C. greater than its time value.
정답: B

해설: Out-of-the-money 옵션의 exercise value는 0입니다. 따라서 옵션 가격 = 0 + time value = time value입니다.

핵심 개념: OTM 옵션은 즉시 행사 시 가치가 없으므로 (exercise value = 0), 전체 가격이 time value로만 구성됩니다.

Quiz 2

The lower bound for the value of a European put option is:

  • A. Max(0, S – X)
  • B. Max[0, X(1 + Rf)^(-T) – S]
  • C. Max[0, S – X(1 + Rf)^(-T)]
정답: B

해설: European put option의 최소값은 0과 "행사가격의 현재가치 - 현재 주가" 중 큰 값입니다.

공식: $p_0 \geq \max[0, X(1 + R_f)^{-T} - S_0]$

암기 팁: Put은 X를 받고 S를 주는 권리이므로 X의 PV에서 S를 뺍니다.

Quiz 3

A decrease in the risk-free rate of interest will:

  • A. increase put and call option prices.
  • B. decrease put option prices and increase call option prices.
  • C. increase put option prices and decrease call option prices.
정답: C

해설: 무위험이자율이 감소하면:

  • • Call option 가격 ↓ (미래 지불액의 PV가 증가하여 불리)
  • • Put option 가격 ↑ (미래 수취액의 PV가 증가하여 유리)

암기법: Call은 미래에 돈을 "지불", Put은 미래에 돈을 "수취"

Q: 실전에서 옵션 가격 결정 요인을 빠르게 판단하는 방법은?
A: 다음 원칙을 기억하세요:

1. 대칭성 원칙: Call과 Put은 대부분 반대로 움직입니다 (변동성과 시간 제외)

2. 직관적 사고:
• Call = "살 권리" → 싸게 살수록(X↓) 유리
• Put = "팔 권리" → 비싸게 팔수록(X↑) 유리

3. 변동성 특별 규칙: 변동성은 유일하게 Call과 Put 모두 증가시킵니다 (비대칭 payoff 때문)

4. 배당 효과: 배당은 주가를 떨어뜨리므로 Call에 불리, Put에 유리

핵심 요약 및 시험 대비 포인트

시험에 자주 나오는 핵심 개념

1

Option Value Components

• Option Premium = Exercise Value + Time Value

• 만기 시 Time Value = 0

• OTM 옵션의 가격 = Time Value only

2

Moneyness 빠른 판단

• Call: S > X → ITM

• Put: X > S → ITM

• "Call은 S-X, Put은 X-S" 암기

3

European Option Bounds (암기 필수)

• Call: $c_0 \geq \max[0, S_0 - X(1+R_f)^{-T}]$

• Put: $p_0 \geq \max[0, X(1+R_f)^{-T} - S_0]$

4

6대 가격 결정 요인

• 변동성만 Call/Put 모두 증가

• 나머지는 대부분 반대 효과

• Risk-free rate: Call과 같은 방향

시험 함정 주의:
• Exercise value ≠ Option price (Time value 빼먹지 말 것)
• European put의 시간가치는 deep ITM에서 음수 가능
• 변동성은 Call/Put 모두 증가 (유일한 예외)
• American ≠ European option 가격 차이
• Payoff ≠ Profit (프리미엄 고려 여부)