Module 53.1: Futures Valuation Overview
중급- LOS 53.a: Compare the value and price of forward and futures contracts
Forward와 futures 계약의 가치와 가격을 비교할 수 있어야 합니다. - LOS 53.b: Explain why forward and futures prices differ
Forward와 futures 가격이 다른 이유를 설명할 수 있어야 합니다.
LOS 53.a: Forward vs Futures - Price and Value
고급Forward contract는 mark-to-market 정산이 없을 때:
- Price (가격): 계약 기간 동안 일정하게 유지됨
- Value (가치): underlying asset의 가치 변화에 따라 변동
- 만기 시점에 forward price와 spot price의 차이만큼 정산
Futures contract는 daily mark-to-market으로 인해:
- Price (가격): 매일 settlement price로 조정됨
- Value (가치): 매일 정산 후 0으로 리셋됨
- 일일 손익이 margin account에 반영됨
100온스 금 선물계약을 $1,870에 매수한 경우의 일일 정산 예시:
- • Day 0: 계약 체결 가격 = $1,870
- • Day 1: Settlement price = $1,875 → 이익 $500 (= 100 × $5)
- • Day 2: Settlement price = $1,865 → 손실 $1,000 (= 100 × -$10)
- • 매일 정산 후 계약 가치는 0으로 리셋
Futures 계약은 매일 손익을 현금으로 정산합니다. 예를 들어, 오늘 $100 이익이 발생했다면 그 $100을 실제로 받고, 계약은 새로운 가격에서 다시 시작됩니다. 마치 매일 기존 계약을 청산하고 새 계약을 체결하는 것과 같습니다.
반면 Forward 계약은 만기까지 정산이 없으므로, 시장가격이 변해도 계약 조건은 그대로입니다. 따라서 시장가격과 계약가격의 차이만큼 계약의 가치가 변동합니다. 이는 마치 미실현 손익을 계속 누적하는 것과 같습니다.
Interest Rate Futures
고급Interest rate futures는 forward rate agreements (FRA)의 거래소 거래 버전으로 볼 수 있습니다. 핵심적인 차이는 가격 표시 방식입니다:
여기서 $MRR_{A, B-A}$는 시점 A부터 (B-A) 기간 동안의 Market Reference Rate입니다.
6개월 후 시작되는 6개월 금리에 대한 선물 가격이 97이라면:
- • Futures price = 97
- • 내재된 금리: $100 - 97 = 3$
- • 따라서 $MRR_{6m, 6m} = 3\%$
Interest rate futures의 BPV는 금리가 1 basis point (0.01%) 변할 때 계약 가치의 변화를 나타냅니다:
€1,000,000 명목원금, 6개월 기간의 계약:
이는 MRR이 1bp 변할 때마다 계약 가치가 €50 변한다는 의미입니다.
LOS 53.b: Why Forward and Futures Prices Differ
고급가격 차이의 핵심 요인
Daily Settlement의 영향
• Futures: 매일 mark-to-market 손익 정산
• Forwards: 만기 시점에만 정산
• 이로 인한 현금흐름 타이밍 차이가 가격에 영향
금리와 선물가격의 상관관계
• 양의 상관관계: Futures가 더 매력적 (이익 시 높은 금리로 재투자)
• 음의 상관관계: Forwards가 더 매력적
• 무상관: Futures와 Forwards 가격 동일
실무적 고려사항
• 대부분 단기 계약이므로 실제 차이는 미미
• Central clearing으로 인한 margin 요구사항 증가
• Derivative dealers도 mark-to-market margin 요구
Long position 기준으로 생각해보면:
| 상황 | 금리 상태 | 현금흐름 | 영향 |
|---|---|---|---|
| 가격 상승 (이익) | 높은 금리 (양의 상관) | 현금 수령 | 높은 수익률로 재투자 → 유리 |
| 가격 하락 (손실) | 낮은 금리 (양의 상관) | 현금 지급 | 낮은 기회비용 → 덜 불리 |
| 가격 상승 (이익) | 낮은 금리 (음의 상관) | 현금 수령 | 낮은 수익률로 재투자 → 불리 |
| 가격 하락 (손실) | 높은 금리 (음의 상관) | 현금 지급 | 높은 기회비용 → 매우 불리 |
Convexity Bias
고급Convexity bias는 interest rate forwards와 futures 간의 정산 방식 차이로 인해 발생하는 가격 차이입니다.
- Futures: 선형적인 payoff (금리 변화에 비례)
- Forwards: 비선형적인 payoff (현재가치 할인 효과)
- 장기 계약일수록 효과가 더 크게 나타남
$1 million 명목원금, 6개월 MRR, 현재 가격 97.50 (MRR = 2.5%)인 경우:
Futures의 경우:
- • 1bp 변화 = $50 손익 (선형적)
- • MRR 2.51%: +$50
- • MRR 2.49%: -$50
Forward의 경우 (현재가치 할인 적용):
- • MRR 2.51%: $\frac{50}{1 + 0.0251/2} = \$49.3803$ (수령)
- • MRR 2.49%: $\frac{50}{1 + 0.0249/2} = \$49.3852$ (지급)
결과: 금리 상승 시 손실이 하락 시 이익보다 작음 → Forward가 convexity를 보임
Forward의 정산금액은 미래 시점의 금리 차이를 현재가치로 할인합니다. 금리가 오르면 할인율도 올라가서 수령할 금액의 현재가치가 감소합니다. 반대로 금리가 내리면 할인율이 낮아져 지급할 금액의 현재가치가 감소합니다.
이는 채권의 가격-수익률 관계와 유사합니다. 금리(수익률)가 변할 때, 채권 가격도 비선형적으로 변하죠. Forward도 마찬가지로 이런 비선형성(convexity)을 보입니다. 반면 Futures는 매일 정산되므로 이런 할인 효과가 없어 선형적인 관계를 유지합니다.
Module Quiz 53.1
실전For a forward contract on an asset that has no costs or benefits from holding it to have zero value at initiation, the arbitrage-free forward price must equal:
해설: Holding costs나 benefits가 없는 자산의 경우, arbitrage-free forward price는 현재 spot price를 risk-free rate로 복리 계산한 미래가치와 같아야 합니다.
공식: $F_0 = S_0 \times (1 + r_f)^T$
오답 분석:
A: Expected future spot price는 위험 프리미엄을 포함할 수 있어 arbitrage-free price와 다릅니다.
C: Present value가 아닌 future value를 사용해야 합니다.
For a futures contract to be more attractive than an otherwise equivalent forward contract, interest rates must be:
해설: 금리와 선물가격이 양의 상관관계를 가질 때, daily settlement gains은 높은 금리로 재투자되고 losses는 낮은 금리에서 자금을 조달하므로 futures가 더 매력적입니다.
핵심 포인트:
• 양의 상관관계: 이익 시 높은 재투자 수익률
• 음의 상관관계: 손실 시 높은 자금조달 비용
• 무상관: Forward와 Futures 가격 동일
1. Daily settlement 여부 확인: Futures는 매일 정산, Forward는 만기 정산
2. 금리 상관관계 확인: - 양의 상관 → Futures 유리 - 음의 상관 → Forward 유리 - 무상관 → 가격 동일
3. Interest rate 계약인지 확인: Convexity bias 고려 필요
4. 가격 vs 가치 구분: - Forward: 가격 일정, 가치 변동 - Futures: 가격과 가치 모두 변동 (매일 리셋)
핵심 요약 및 시험 대비 포인트
시험에 자주 나오는 핵심 개념
Forward Contract (Mark-to-Market 없음)
• Price: 계약기간 동안 일정
• Value: Underlying 가치 변화에 따라 변동
• 만기 시점에만 정산
Futures Contract (Daily Mark-to-Market)
• Price: 매일 settlement price로 조정
• Value: 매일 정산 후 0으로 리셋
• 일일 손익이 margin account에 반영
Interest Rate Futures 가격 공식
• $\text{Futures Price} = 100 - (100 \times MRR)$
• BPV = Notional × Period × 0.01%
• Price basis로 quotation (FRA와 다름)
금리와 선물가격의 상관관계
• 양의 상관관계: Futures > Forward (가격)
• 음의 상관관계: Forward > Futures (가격)
• 무상관: Forward = Futures (가격)
Convexity Bias
• Interest rate forwards는 convexity 보임
• 할인율 효과로 인한 비선형 payoff
• 장기 계약일수록 효과 증대
• Forward price ≠ Expected future spot price
• Futures value는 매일 0이 되지만 price는 계속 변함
• Interest rate futures는 100 - rate로 표시 (직관과 반대)
• Convexity bias는 forwards에만 존재 (futures는 선형)
• 상관관계 효과는 long position 기준으로 판단