LOS 52.a: Forward Contract Value & Price
중급Forward contract의 가치는 세 가지 시점에서 다르게 평가됩니다:
- • At initiation (계약 시작 시점): 가치는 항상 0
- • During the life (계약 기간 중): 시장 가격 변동에 따라 변화
- • At expiration (만기 시점): Spot price와 Forward price의 차이
Forward Contract 가치 공식
계약 시작 시점 (t=0)
No-arbitrage forward price: $F_0(T) = S_0(1 + R_f)^T$
계약 시작 시점에서 forward contract의 가치는 항상 0입니다.
계약 기간 중 (0 < t < T)
현재 spot price에서 forward price의 현재가치를 뺀 값입니다.
• $S_t$ > PV of $F_0(T)$ → Long position 이익
• $S_t$ < PV of $F_0(T)$ → Long position 손실
만기 시점 (t=T)
만기 시점의 spot price와 약정된 forward price의 차이가 손익이 됩니다.
1. 가치가 양수인 경우: Long position을 취하려는 수요가 증가하여 forward price가 상승하고, 결국 가치가 0이 될 때까지 조정됩니다.
2. 가치가 음수인 경우: Short position을 취하려는 수요가 증가하여 forward price가 하락하고, 마찬가지로 가치가 0이 될 때까지 조정됩니다.
이러한 시장 메커니즘을 통해 forward contract는 항상 공정 가치(fair value)인 0에서 시작합니다.
기초자산을 보유하는데 비용(storage cost, insurance)이나 편익(dividends, convenience yield)이 있는 경우:
• Costs: 보관 비용, 보험료 등 → Forward value 증가
• Benefits: 배당금, convenience yield → Forward value 감소
LOS 52.b: Forward Rates & Term Structure
고급| 표기법 | 의미 | 설명 |
|---|---|---|
| 1y1y or $F_{1,1}$ | 1년 후 시작하는 1년 만기 | 1년 후부터 2년까지의 금리 |
| 2y1y or $F_{2,1}$ | 2년 후 시작하는 1년 만기 | 2년 후부터 3년까지의 금리 |
| 3y2y or $F_{3,2}$ | 3년 후 시작하는 2년 만기 | 3년 후부터 5년까지의 금리 |
| 3m6m | 3개월 후 시작하는 6개월 만기 | Money market rate |
Implied forward rate는 다음 두 전략이 동일한 수익률을 가질 때의 forward rate입니다:
- Forward date까지 투자 후, forward 기간 동안 재투자
- 처음부터 forward 기간 끝까지 직접 투자
이 조건이 성립할 때, $F_{1,1}$이 implied (no-arbitrage) forward rate입니다.
문제: $Z_2 = 2\%$, $Z_3 = 3\%$일 때, 2년 후 시작하는 1년 forward rate $F_{2,1}$을 계산하시오.
풀이:
- • 3년간 직접 투자: $100 × (1.03)^3 = \$109.27$
- • 2년 투자 후 재투자: $100 × (1.02)^2 = \$104.04$
- • No-arbitrage 조건: $(1.02)^2 × (1 + F_{2,1}) = (1.03)^3$
- • $F_{2,1} = \frac{109.27}{104.04} - 1 = 5.03\%$
Forward Rate Agreements (FRAs)
고급Forward Rate Agreement (FRA)는 interest rate derivative의 한 종류입니다:
- Fixed-rate payer (Long): Forward rate를 지급
- Floating-rate payer (Short): 미래 reference rate를 지급
- 결제: 실제로는 차액만 정산 (net settlement)
예를 들어, 3개월 후 시작하는 6개월 FRA의 경우:
• 결제 시점: 3개월 후 (금리 기간 시작)
• 실제 이자 지급/수취: 9개월 후 (금리 기간 종료)
따라서 9개월 시점의 이자 차액을 3개월 시점으로 할인하여 결제합니다. 이렇게 하면 양 당사자가 공정한 가치를 주고받게 됩니다.
주어진 정보:
- • 3개월 후 시작하는 6개월 MRR FRA ($F_{3m6m}$)
- • Notional principal: $1,000,000
- • 현재 3개월 MRR: 1.0%
- • 현재 9개월 MRR: 1.2%
- • 3개월 후 실현된 6개월 MRR: 1.5%
Step 1: Implied forward rate 계산
Step 2: FRA 결제금액 계산
Fixed-rate payer (1.3% 지급, 1.5% 수취)의 수익:
FRA의 실무 활용
금융기관의 리스크 관리
• Interest-sensitive assets/liabilities의 변동성 관리
• ALM (Asset-Liability Management)의 핵심 도구
Interest Rate Swap의 구성요소
• FRA는 single-period swap과 동일
• Multiple-period swap = 연속된 FRA의 조합
Convexity Bias
중급Forward의 가치는 convexity를 나타냅니다. 이는 채권과 유사한 특성입니다:
- • 금리 상승 시 가치 감소폭 < 금리 하락 시 가치 증가폭
- • 만기가 길수록 convexity effect 증가
- • Forward와 futures 가격의 차이를 발생시킴
Module Quiz 실전 연습
실전Two parties agree to a forward contract to exchange 100 shares of a stock one year from now for $72 per share. Immediately after they initiate the contract, the price of the underlying stock increases to $74 per share. This share price increase represents a gain for:
해설: 기초자산 가격($74)이 forward price($72)보다 높아졌으므로, forward contract의 가치가 증가합니다. 이는 buyer (long position)에게 이익이고 seller (short position)에게는 손실입니다.
핵심 개념: $V_t = S_t - PV(F_0)$ 공식에서 $S_t$가 증가하면 contract value가 증가하여 buyer에게 유리합니다.
The forward rate $F_{2,3}$ represents the interest rate on a loan for the period from:
해설: $F_{2,3}$는 2-year forward 3-year rate입니다. 즉, 2년 후 시작해서 3년간 지속되는 대출의 금리입니다. 따라서 2년 후부터 5년까지의 기간을 커버합니다.
표기법 해석:
• 첫 번째 숫자(2): forward 시작 시점
• 두 번째 숫자(3): 대출 기간
Given zero-coupon bond yields for 1, 2, and 3 years, an analyst can derive an implied:
해설: 1, 2, 3년 zero-coupon yields로부터 계산 가능한 forward rates:
- • $F_{1,1}$: 1년 후 시작 1년 만기 (2년까지) ✓
- • $F_{1,2}$: 1년 후 시작 2년 만기 (3년까지) ✓
- • $F_{2,1}$: 2년 후 시작 1년 만기 (3년까지) ✓
- • $F_{2,2}$: 2년 후 시작 2년 만기 (4년까지) ✗ (4년 데이터 필요)
1. 결제 방식:
• Forward: 만기에 일괄 결제
• Futures: Daily marking-to-market
2. 거래 장소:
• Forward: OTC (Over-the-counter) 시장
• Futures: 거래소 (Exchange-traded)
3. 표준화:
• Forward: Customized (맞춤형)
• Futures: Standardized (표준화)
4. 신용 위험:
• Forward: Counterparty risk 존재
• Futures: Clearinghouse가 보증
이러한 차이로 인해 convexity bias가 발생하며, 특히 장기 계약에서 forward와 futures 가격이 달라집니다.
핵심 요약 및 시험 대비 포인트
시험에 자주 나오는 핵심 개념
Forward Contract 가치 공식
• 계약 시작: $V_0 = 0$ (항상!)
• 계약 중: $V_t = S_t - PV(F_0)$
• 만기: $V_T = S_T - F_0$
Forward Rate 계산
• No-arbitrage 조건: $(1 + Z_n)^n = (1 + Z_m)^m × (1 + F_{m,n-m})$
• 표기법: $F_{a,b}$ = a년 후 시작, b년 만기
FRA 결제금액
• 이자 차액의 현재가치로 결제
• Fixed-rate payer 수익 = (실현 금리 - Forward rate) × Notional / (1 + 실현 금리)
• Forward contract 가치 ≠ Forward price
• $F_{2,3}$는 2~3년이 아닌 2년 후부터 5년까지
• FRA 결제는 이자 기간 시작 시점 (끝이 아님)
• Money market rates는 보통 연율화되어 있음 (periodicity 조정 필요)