LOS 51.a: Arbitrage and Replication in Derivatives Pricing

중급
1 No-Arbitrage Pricing의 핵심 원리

파생상품 가치평가는 no-arbitrage condition에 기반합니다. 이는 위험자산의 가치평가(위험조정 현재가치)와는 다른 접근법입니다.


Arbitrage(차익거래): 동일한 미래 payoff를 가진 두 자산이나 포트폴리오를 서로 다른 가격에 동시에 매수/매도하여 무위험 이익을 얻는 거래입니다.

Q: 왜 파생상품 가치평가에서는 risk-free rate를 사용할까요?
A: 파생상품 가치평가는 arbitrage-free pricing에 기반하기 때문입니다. Replication을 통해 파생상품과 동일한 payoff를 가진 포트폴리오를 구성할 수 있고, 이 복제 포트폴리오는 이론적으로 무위험입니다. 따라서 할인율로 risk-free rate를 사용합니다. 이는 투자자의 위험 선호도와 무관하게 성립하는 관계입니다.
EXAMPLE: Acme 주식의 No-Arbitrage Forward Price

Acme 주식: 현재가격 $S_0 = 30$, 무배당, risk-free rate = 5%, 1년 forward contract


두 가지 전략으로 t=1에 Acme 주식 보유:

  • Portfolio 1: Bond 매수 ($\frac{F_0(1)}{1.05}$) + Forward long position (cost = 0)
  • Portfolio 2: 현물 주식 매수 ($30)

두 포트폴리오의 payoff가 동일 ($S_1$)하므로, 초기 비용도 같아야 합니다:

$$\frac{F_0(1)}{1.05} = 30$$ $$F_0(1) = 30 \times 1.05 = 31.50$$
Arbitrage Profit Opportunities

Arbitrage 전략 정리

1

Forward Price가 너무 높을 때 ($F_0 > S_0(1+R_f)^T$)

• Forward를 매도 (가격이 "비싸므로")

• 현물을 매수

• 만기에 현물을 forward 가격에 인도

• Profit = $F_0 - S_0(1+R_f)^T > 0$

2

Forward Price가 너무 낮을 때 ($F_0 < S_0(1+R_f)^T$)

• Forward를 매수 (가격이 "싸므로")

• 현물을 공매도

• 공매도 대금을 무위험 이자율로 투자

• Profit = $S_0(1+R_f)^T - F_0 > 0$

Replication: 파생상품 복제 전략

중급
Replication의 정의와 중요성

Replication: 현물시장 거래를 통해 파생상품과 동일한 payoff를 가진 포트폴리오를 구성하는 것


복제 포트폴리오는 기초자산의 모든 가능한 미래 가치에 대해 파생상품과 동일한 payoff를 제공해야 합니다.

Position Replicating Portfolio Payoff at Maturity
Long Forward • $S_0$ 차입 @ $R_f$
• 주식 매수		 $S_T - S_0(1+R_f)^T$
Short Forward • 주식 공매도
• $S_0$ 투자 @ $R_f$		 $S_0(1+R_f)^T - S_T$
핵심 통찰: Replication을 통해 파생상품의 공정가치를 계산할 수 있습니다. 복제 포트폴리오의 비용이 곧 파생상품의 no-arbitrage 가격입니다.

LOS 51.b: Cost of Carry와 Forward Pricing

고급
2 Cost of Carry의 구성요소

Net Cost of Carry = 보유 비용 - 보유 수익


  • 보유 비용: 기회비용($R_f$), 보관비용, 보험료 등
  • 보유 수익: 배당금, 이자, convenience yield
Q: Convenience Yield란 무엇이며, 왜 중요한가요?
A: Convenience yield는 실물자산을 보유함으로써 얻는 비금전적 이익입니다. 예를 들어, 원유를 실제로 보유하면 갑작스런 공급 부족 시 즉시 사용하거나 판매할 수 있는 이점이 있습니다. 이는 특히 공매도가 어려운 상품시장에서 중요합니다. Convenience yield가 높으면 forward price가 낮아지는데, 이는 실물 보유의 가치가 높기 때문입니다.

Forward Price 공식 정리

1

이산복리 (Discrete Compounding)

$$F_0(T) = [S_0 + PV_0(\text{costs}) - PV_0(\text{benefits})](1+R_f)^T$$
2

연속복리 (Continuous Compounding)

$$F_0(T) = S_0 e^{(r+c-b)T}$$

• $r$ = risk-free rate (연속복리)

• $c$ = storage cost rate (연속복리)

• $b$ = benefit yield (배당수익률, 연속복리)

Cost of Carry가 Forward Price에 미치는 영향

Forward Pricing 실전 예제

고급
EXAMPLE: 주가지수 Forward 가격 계산

주어진 조건:

  • Stock index 현재가: 1,550
  • Dividend yield: 1.3% (연속복리)
  • Risk-free rate: 3.0% (연속복리)
  • 만기: 6개월

계산:

$$F_0(0.5) = 1,550 \times e^{(0.03 - 0.013)(0.5)}$$ $$= 1,550 \times e^{0.0085}$$ $$= 1,550 \times 1.00854 = 1,563.23$$
자산 유형 Cost of Carry 요소 Forward Price 영향
주식 배당금 (수익) Forward price 감소
채권 쿠폰 이자 (수익) Forward price 감소
상품 보관비용 (비용)
Convenience yield (수익)		 보관비용: 증가
Convenience: 감소
통화 외국 이자율 (수익) Forward price 감소

Currency Forward의 특별한 경우

중급
Interest Rate Parity (IRP)

통화 forward는 양국 간 금리차에 의해 결정됩니다:

$$F_{0,\text{currency}} = S_0 \times \frac{(1+r_{\text{price currency}})^T}{(1+r_{\text{base currency}})^T}$$

연속복리 형태:

$$F_{0,\text{currency}} = S_0 \times e^{(r_{\text{price}} - r_{\text{base}})T}$$
Currency Forward Arbitrage

주어진 조건:

  • USD/EUR spot rate: 1.10
  • USD interest rate: 2%
  • EUR interest rate: 3%
  • 만기: 1년

No-arbitrage forward rate:

$$F_{\text{USD/EUR}} = 1.10 \times \frac{1.02}{1.03} = 1.0893$$

EUR이 forward에서 할인되는 이유: EUR의 금리가 더 높기 때문

Module Quiz 실전 연습

실전
Quiz 1

Derivatives pricing models use the risk-free rate to discount future cash flows because these models:

  • A. are based on portfolios with certain payoffs.
  • B. assume that derivatives investors are risk-neutral.
  • C. assume that risk can be eliminated by diversification.
정답: A

해설: 파생상품 가격결정 모델은 arbitrage 관계에 기반하며, 이는 이론적으로 무위험입니다. Replication을 통해 확실한 payoff를 가진 포트폴리오를 구성할 수 있기 때문에 risk-free rate를 사용합니다.

오답 분석:
B: Risk-neutral valuation은 결과이지 가정이 아닙니다.
C: Diversification이 아닌 replication과 arbitrage를 통해 위험이 제거됩니다.

Quiz 2

Arbitrage prevents:

  • A. market efficiency.
  • B. earning returns higher than the risk-free rate of return.
  • C. two assets with identical payoffs from selling at different prices.
정답: C

해설: Arbitrage는 동일한 payoff를 가진 두 자산이 다른 가격에 거래되는 것을 방지합니다. 이것이 law of one price의 기초입니다.

핵심 개념: Arbitrage는 시장 효율성을 증진시키며, 가격 괴리를 제거합니다.

Quiz 3

The underlying asset of a derivative is said to have a convenience yield when the asset:

  • A. is difficult to sell short.
  • B. pays interest or dividends.
  • C. must be stored and insured.
정답: A

해설: Convenience yield는 자산 보유의 비금전적 이익을 의미합니다. 공매도가 어려운 자산을 보유하면, 과대평가 시 즉시 매도할 수 있는 이점이 있습니다.

구분:
• Convenience yield: 비금전적 이익
• 배당/이자: 금전적 이익
• 보관/보험: 보유 비용

Quiz 4

An investor can replicate a forward on a stock that pays no dividends by:

  • A. selling the underlying short and investing the proceeds at the risk-free rate.
  • B. buying the underlying in the spot market and holding it.
  • C. borrowing at the risk-free rate to buy the underlying.
정답: C

해설: Long forward는 $S_0$를 risk-free rate로 차입하여 현물을 매수함으로써 복제됩니다. 만기 payoff는 $S_T - S_0(1+R_f)^T$로 forward와 동일합니다.

복제 전략 정리:
• Long forward: 차입 + 현물 매수
• Short forward: 현물 공매도 + 투자

Quiz 5

The forward price of a commodity will be equal to the current spot price if the:

  • A. convenience yield equals the storage costs as a percentage.
  • B. convenience yield is equal to the risk-free rate plus storage costs as a percentage.
  • C. risk-free rate equals the storage costs as a percentage minus the convenience yield.
정답: B

해설: Forward price = Spot price일 조건은 $e^{(r+c-b)T} = 1$, 즉 $r + c - b = 0$입니다. 따라서 convenience yield $(b) = $ risk-free rate $(r) + $ storage costs $(c)$일 때 성립합니다.

$$F_0 = S_0 \text{ when } b = r + c$$

핵심 요약 및 시험 대비 포인트

시험에 자주 나오는 핵심 공식

1

기본 Forward Price

$$F_0(T) = S_0(1+R_f)^T$$
2

Cost of Carry 포함

$$F_0(T) = S_0 e^{(r+c-b)T}$$

• $r$: risk-free rate
• $c$: storage cost rate
• $b$: benefit yield

3

Currency Forward (IRP)

$$F = S \times \frac{(1+r_{\text{price}})}{(1+r_{\text{base}})}$$
시험 함정 주의:
• Convenience yield는 비금전적 이익 (배당금과 구분!)
• Forward가 비싸면 매도, 싸면 매수 (직관과 일치)
• Replication ≠ Hedging (복제는 동일 payoff 생성)
• Currency forward에서 고금리 통화는 forward discount
• Cost of carry = benefits - costs (순서 주의!)