LOS 46.a: Sources of Return from Fixed-Rate Bonds

중급
1 채권 투자 수익의 세 가지 원천
  1. 1. Coupon and principal payments
    약정된 쿠폰과 원금 지급에서 발생하는 수익
  2. 2. Reinvestment income
    쿠폰을 재투자하여 얻는 이자 수익
  3. 3. Capital gain/loss
    만기 전 매도 시 발생하는 자본 손익
EXAMPLE: 6% Annual-Pay 3년 만기 채권 (YTM 7%)

채권 가격 계산:

N = 3; I/Y = 7; PMT = 60; FV = 1,000 → PV = -973.76

만기 시 총 수익:

  • • 쿠폰과 재투자 수익: $60(1.07)^2 + 60(1.07) + 60 = \$192.89$
  • • 재투자 수익만: $192.89 - 3(60) = \$12.89$
  • • 원금: $\$1,000$
  • • 총 수익률: $\left(\frac{\$1,192.89}{\$973.76}\right)^{1/3} - 1 = 7.00\%$
Q: 왜 채권의 holding period return이 YTM과 다를 수 있을까요?
A: 채권의 실제 수익률이 YTM과 다른 이유는 두 가지 주요 위험 때문입니다:

1. Market price risk (시장 가격 위험): 만기 전 매도 시 금리 변동으로 인한 가격 변화
2. Reinvestment risk (재투자 위험): 쿠폰을 재투자할 때의 금리가 처음 YTM과 다를 수 있음

투자 기간이 짧으면 market price risk가 더 중요하고, 투자 기간이 길면 reinvestment risk가 더 중요합니다. 이것을 커피숍에 비유하면, 단기간 운영(짧은 투자)은 부동산 가격 변동(price risk)에 민감하고, 장기간 운영(긴 투자)은 매출 재투자 수익률(reinvestment risk)에 더 민감한 것과 같습니다.

LOS 46.b: Macaulay, Modified, and Effective Durations

고급

Duration의 세 가지 유형

1

Macaulay Duration

• 각 현금흐름까지의 기간을 현재가치로 가중평균한 값

• 단위: 년(years)

• 투자 horizon과 비교하여 interest rate risk 평가

2

Modified Duration

• YTM 1% 변화에 대한 채권 가격의 민감도

• 공식: $\text{ModDur} = \frac{\text{MacDur}}{1 + \frac{YTM}{m}}$

• 선형 근사치로 가격 변화 추정

3

Effective Duration

• Embedded option이 있는 채권에 사용

• Benchmark yield curve shift에 대한 민감도

• 공식: $\text{EffDur} = \frac{V^- - V^+}{2 \times V_0 \times \Delta\text{curve}}$

Macaulay Duration 계산 예시
Year Cash Flow PV at 5% Weight Year × Weight
1 40 38.10 0.0392 0.0392
2 40 36.28 0.0373 0.0746
3 1,040 898.39 0.9235 2.7705
Total 972.77 1.0000 2.8843

Macaulay Duration = 2.88년

$$\text{Approximate Modified Duration} = \frac{V^- - V^+}{2 \times V_0 \times \Delta YTM}$$

where: $V^-$ = 금리 하락 시 가격, $V^+$ = 금리 상승 시 가격, $V_0$ = 현재 가격

LOS 46.e: Factors Affecting Interest Rate Risk

중급
Interest Rate Risk에 영향을 미치는 요인들
Factor 변화 방향 Duration 영향 설명
Maturity 증가 ↑ 증가 ↑ 만기가 길수록 금리 변화에 더 민감
Coupon Rate 증가 ↑ 감소 ↓ 쿠폰이 높으면 조기 현금흐름이 많아 덜 민감
YTM 증가 ↑ 감소 ↓ 높은 할인율은 먼 미래 현금흐름 비중 감소
Call Option 있음 감소 ↓ 금리 하락 시 가격 상승 제한
Put Option 있음 감소 ↓ 금리 상승 시 가격 하락 제한
Duration vs Maturity Relationship
중요: Zero-coupon bond의 Macaulay duration은 항상 만기와 같습니다. 이는 모든 현금흐름이 만기에만 발생하기 때문입니다.

LOS 46.g: Money Duration and PVBP

고급
Money Duration (Dollar Duration)

Money Duration은 금리 변화에 대한 채권 가치의 절대 금액 변화를 측정합니다.

$$\text{Money Duration} = \text{Annual Modified Duration} \times \text{Full Price of Bond Position}$$

예: $2M par value 채권, modified duration = 7.42, full price = 101.32

  • Money duration = 7.42 × $2,000,000 × 1.0132 = $15,035,888
  • 금리 1% 상승 시 예상 손실 = $15,035,888 × 0.01 = $150,359
PVBP (Price Value of a Basis Point)

PVBP는 금리가 1 basis point (0.01%) 변할 때 채권 가격의 변화를 나타냅니다.

$$\text{PVBP} = \frac{(V^- - V^+)}{2} \times \text{Par Value} \times 0.01$$

PVBP는 다음과 같이 활용됩니다:

  • • 포트폴리오 헤징 시 필요한 헤지 비율 계산
  • • 다른 만기 채권 간 금리 민감도 비교
  • • 거래 전 risk assessment
PVBP 계산 예제

20년 만기, 6% annual-pay 채권, 가격 101.39, par value $1M

  1. YTM 계산: I/Y = 5.88%
  2. 5.89% 시 가격: V⁺ = 101.273
  3. 5.87% 시 가격: V⁻ = 101.507
  4. PVBP = (101.507 - 101.273)/2 = 0.117 per $100
  5. $1M 채권: 0.117 × $10,000 = $1,170

LOS 46.h & 46.i: Convexity and Price Changes

고급
Convexity의 이해

Convexity는 금리-가격 관계의 곡률(curvature)을 측정합니다. Duration은 선형 근사치를 제공하지만, convexity는 비선형 관계를 포착합니다.

$$\text{Approximate Convexity} = \frac{V^+ + V^- - 2V_0}{V_0 \times (\Delta YTM)^2}$$

채권 가격 변화 추정:

$$\%\Delta P = -\text{Duration} \times \Delta y + \frac{1}{2} \times \text{Convexity} \times (\Delta y)^2$$
Price-Yield Relationship: Duration vs Duration+Convexity
Q: 왜 convexity adjustment는 항상 양수일까요?
A: Convexity adjustment가 항상 양수인 이유는 채권의 가격-수익률 곡선이 원점에 대해 convex(볼록)하기 때문입니다:

• 금리 하락 시: Duration만으로 추정한 가격 상승폭보다 실제 가격이 더 많이 상승
• 금리 상승 시: Duration만으로 추정한 가격 하락폭보다 실제 가격이 덜 하락

이는 마치 자동차의 에어백과 같습니다 - 충격(금리 변화)이 클수록 추가적인 보호(convexity adjustment)가 더 중요해집니다. Option-free bond는 항상 positive convexity를 가지지만, callable bond는 낮은 금리에서 negative convexity를 가질 수 있습니다.

Convexity 특성 비교

1

Option-Free Bonds

• 항상 positive convexity

• 금리 변화에 대해 대칭적 반응

• Convexity는 투자자에게 유리

2

Callable Bonds

• 낮은 금리에서 negative convexity 가능

• Call price가 가격 상승 제한

• 금리 하락 시 duration 감소

3

Putable Bonds

• Option-free bond보다 높은 convexity

• Put price가 하방 보호 제공

• 투자자에게 추가적인 이익

LOS 46.k: Duration Gap and Investment Horizon

중급
Duration Gap Analysis

Duration Gap은 Macaulay duration과 investment horizon의 차이를 나타냅니다.

$$\text{Duration Gap} = \text{Macaulay Duration} - \text{Investment Horizon}$$
Duration Gap 의미 주요 위험 금리 상승 시
Positive
(Duration > Horizon)		 장기 채권, 단기 투자 Market price risk 손실 발생
Zero
(Duration = Horizon)		 면역화(Immunization) 최소 위험 영향 상쇄
Negative
(Duration < Horizon)		 단기 채권, 장기 투자 Reinvestment risk 재투자 수익 증가
Duration Gap and Risk Profile
실무 적용: Duration matching (면역화 전략)은 자산과 부채의 duration을 일치시켜 금리 변동 위험을 최소화하는 ALM(Asset-Liability Management)의 핵심 기법입니다.

Module Quiz 실전 연습

실전
Quiz 1

A portfolio manager owns a bond with a modified duration of 5.2. If yields increase by 75 basis points, the percentage change in the bond's value is closest to:

  • A. -3.90%
  • B. +3.90%
  • C. -5.20%
정답: A

해설: Modified duration을 사용한 가격 변화 계산:

%ΔP = -Modified Duration × ΔYield = -5.2 × 0.0075 = -0.039 = -3.90%

핵심: Duration은 금리와 가격의 역관계를 나타내므로 금리 상승 시 가격은 하락합니다.

Quiz 2

Which of the following bonds has the highest duration?

  • A. 10-year maturity, 8% coupon
  • B. 10-year maturity, 5% coupon
  • C. 5-year maturity, 5% coupon
정답: B

해설: Duration에 영향을 미치는 요인들:

• Maturity ↑ → Duration ↑

• Coupon rate ↓ → Duration ↑

B는 가장 긴 만기(10년)와 가장 낮은 쿠폰(5%)의 조합으로 highest duration을 가집니다.

Quiz 3

For a bond with positive convexity, if interest rates decrease by 100 basis points, the price increase calculated using both duration and convexity will be:

  • A. less than that calculated using duration alone
  • B. greater than that calculated using duration alone
  • C. the same as that calculated using duration alone
정답: B

해설: Convexity adjustment는 항상 양수입니다:

• Duration effect: 가격 상승 예측

• Convexity adjustment: 추가 상승 (+)

• Total = Duration effect + Positive convexity adjustment

따라서 duration+convexity로 계산한 가격 상승폭이 더 큽니다.

Quiz 4

An investor has a 5-year investment horizon. Which bond would minimize interest rate risk?

  • A. A bond with Macaulay duration of 3 years
  • B. A bond with Macaulay duration of 5 years
  • C. A bond with Macaulay duration of 7 years
정답: B

해설: Duration matching principle:

• Investment horizon = 5년

• Macaulay duration = 5년

• Duration gap = 5 - 5 = 0

Duration gap이 0일 때 market price risk와 reinvestment risk가 상쇄되어 금리 변동에 대한 총 위험이 최소화됩니다.

Quiz 5

A bond has a money duration of $850 per 100 of par value. For a 50 basis point decrease in yield, the change in bond value per $100 par is closest to:

  • A. -$4.25
  • B. +$4.25
  • C. +$8.50
정답: B

해설: Money duration 적용:

• Money duration = $850 per $100 par

• Yield change = -0.50% = -0.005

• Price change = -Money duration × Yield change

• Price change = -$850 × (-0.005) = +$4.25

Q: Effective duration과 Modified duration 중 언제 어떤 것을 사용해야 할까요?
A: 선택 기준은 채권의 현금흐름 확실성에 달려있습니다:

Modified Duration 사용:
• Option-free bonds (일반 채권)
• 현금흐름이 확정적인 경우
• YTM 기반 분석이 적절한 경우

Effective Duration 사용:
• Embedded options이 있는 채권 (callable, putable)
• MBS, ABS 같은 prepayment option이 있는 증권
• 현금흐름이 금리 경로에 따라 변하는 경우

핵심은 "현금흐름이 변할 수 있는가?"입니다. 변할 수 있다면 반드시 effective duration을 사용해야 합니다.

핵심 요약 및 시험 대비 포인트

시험에 자주 나오는 핵심 공식

1

Duration 관련

• Modified Duration = MacDur / (1 + YTM/m)

• Effective Duration = (V⁻ - V⁺) / (2 × V₀ × Δcurve)

• %ΔP ≈ -Duration × ΔYield

2

Money Measures

• Money Duration = ModDur × Full Price

• PVBP = (V⁻ - V⁺)/2 × Par × 0.01

3

Convexity

• Convexity = (V⁺ + V⁻ - 2V₀) / (V₀ × ΔY²)

• %ΔP = -Duration × ΔY + ½ × Convexity × ΔY²

4

Duration Gap

• Duration Gap = MacDur - Investment Horizon

• Gap = 0 → Immunization

시험 함정 주의:
• Duration은 항상 음의 부호 (금리↑ → 가격↓)
• Convexity adjustment는 항상 양수 (유리한 효과)
• Callable bond는 negative convexity 가능 (낮은 금리에서)
• Zero-coupon bond: MacDur = Maturity
• Portfolio duration ≠ 정확한 측정 (parallel shift 가정 필요)