Module 44.1: Bond Valuation and Yield to Maturity
중급채권의 가치는 모든 미래 현금흐름의 현재가치 합계입니다. 채권의 현금흐름을 할인하는데 적절한 시장 할인율을 Yield-to-Maturity (YTM)라고 합니다.
여기서:
- • PV = 채권의 현재가치 (가격)
- • PMT = 쿠폰 지급액
- • FV = 액면가 (Par Value)
- • YTM = 만기수익률
- • n = 만기까지 기간
10년 만기, 액면가 $1,000, 쿠폰율 10%, 연간 지급 채권을 생각해봅시다. 할인율이 10%일 때:
계산기 솔루션:
- N = 10 (년수)
- PMT = 100 (연간 쿠폰)
- FV = 1,000 (액면가)
- I/Y = 10 (할인율)
- CPT → PV = -1,000
1. 할인율이 상승하면: 분모가 커져 현재가치(가격)가 하락합니다.
2. 할인율이 하락하면: 분모가 작아져 현재가치(가격)가 상승합니다.
실생활 비유: 은행 금리가 올라가면 기존 낮은 이자율 채권의 매력이 떨어져 가격이 하락합니다. 반대로 금리가 내려가면 기존 높은 이자율 채권이 더 매력적이 되어 가격이 상승합니다.
Price-Yield 관계의 5가지 핵심 특성
역관계 (Inverse Relationship)
YTM이 감소(증가)하면 채권 가격은 증가(감소)합니다.
Premium vs Discount
• Coupon Rate > YTM → Premium (액면가 이상)
• Coupon Rate < YTM → Discount (액면가 이하)
• Coupon Rate = YTM → Par (액면가)
Convexity (볼록성)
YTM이 같은 폭으로 증가할 때의 가격 하락폭보다 감소할 때의 가격 상승폭이 더 큽니다.
Coupon Effect
낮은 쿠폰율 채권이 높은 쿠폰율 채권보다 YTM 변화에 더 민감합니다.
Maturity Effect
만기가 긴 채권이 짧은 채권보다 YTM 변화에 더 민감합니다.
Module 44.2: Spot Rates and Accrued Interest
중급Spot rates는 미래 단일 지급액에 대한 시장 할인율입니다. Zero-coupon bonds의 할인율이 spot rates이며, zero rates라고도 합니다.
여기서 $S_i$는 i기간의 spot rate입니다.
다음 spot rates가 주어졌을 때, 3년 만기, 5% 연간 쿠폰 채권의 가치를 계산하세요:
| 만기 | Spot Rate |
|---|---|
| 1년 | 3% |
| 2년 | 4% |
| 3년 | 5% |
해답:
이 가격을 no-arbitrage price라고 하며, 다른 가격에서는 차익거래 기회가 발생합니다.
대부분의 채권 거래는 쿠폰 지급일 사이에 이루어집니다.
| 용어 | 영문 | 설명 |
|---|---|---|
| Full Price | Dirty Price | 경과이자를 포함한 가격 |
| Flat Price | Clean Price | 경과이자를 제외한 가격 |
| Accrued Interest | 경과이자 | 매도자가 벌어들인 다음 쿠폰의 일부 |
Module 44.3: Yield Measures
고급Periodicity는 연간 쿠폰 지급 횟수를 의미합니다. 주어진 쿠폰율에서 periodicity가 클수록 복리 효과로 인해 연간 수익률이 높아집니다.
여기서 n은 연간 복리 횟수(periodicity)입니다.
Stated YTM이 10%인 채권의 effective annual yield를 계산하세요:
- 반기 지급 (n=2): $$\text{EAY} = \left(1 + \frac{0.10}{2}\right)^2 - 1 = (1.05)^2 - 1 = 10.25\%$$
- 분기 지급 (n=4): $$\text{EAY} = \left(1 + \frac{0.10}{4}\right)^4 - 1 = (1.025)^4 - 1 = 10.38\%$$
변동금리채권의 주요 수익률 측정치:
- • Discount Margin: 현재가치를 채권 가격과 같게 만드는 reference rate 대비 마진
- • Quoted Margin: 채권 조건에 명시된 마진
Module 44.4: Yield Curves
고급4가지 주요 Yield Curves
Spot Curve (현물 수익률 곡선)
• Zero-coupon bonds의 만기별 수익률
• 각 만기에 대한 단일 할인율 제공
• 정부 zero-coupon bonds의 수익률이 spot rates
Yield Curve for Coupon Bonds
• 쿠폰 채권의 만기별 YTM
• 여러 만기에 대해 계산되고 중간값은 선형보간
• 가장 일반적으로 사용되는 수익률 곡선
Par Curve (파 곡선)
• Spot curve에서 도출
• 각 만기에서 액면가로 거래되기 위한 쿠폰율
• 가상의 채권 쿠폰율 반영
Forward Curve (선도 수익률 곡선)
• 미래 시점의 예상 금리
• Spot rates에서 계산 가능
• 미래 차입/대출 금리 예측
예를 들어, 2년 spot rate가 4%이고 1년 spot rate가 3%라면:
$$(1 + S_2)^2 = (1 + S_1) \times (1 + 1y1y)$$ $$(1.04)^2 = (1.03) \times (1 + 1y1y)$$ $$1y1y = \frac{(1.04)^2}{1.03} - 1 = 5.01\%$$
이는 1년 후 1년 동안의 예상 금리가 5.01%임을 의미합니다. 이것이 no-arbitrage 조건입니다.
| 표기 | 의미 | 설명 |
|---|---|---|
| 1y1y | 1-year rate, 1 year forward | 1년 후부터 1년간의 금리 |
| 2y1y | 1-year rate, 2 years forward | 2년 후부터 1년간의 금리 |
| 3y2y | 2-year rate, 3 years forward | 3년 후부터 2년간의 금리 |
Module 44.5: Yield Spreads
고급| Spread Type | 정의 | 특징 |
|---|---|---|
| G-Spread | 채권 수익률 - 동일 만기 국채 수익률 | 가장 단순한 신용 스프레드 측정 |
| I-Spread | 채권 수익률 - 보간된 국채 수익률 | 정확한 만기 매칭을 위한 보간 사용 |
| Z-Spread | 모든 spot rate에 더해지는 일정한 스프레드 | 수익률 곡선의 형태 반영 |
| OAS | 옵션 조정 스프레드 | Callable bonds: OAS = Z-spread - Option value |
Z-Spread 계산 공식:
$$\text{Bond Price} = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+S_t+Z)^t}$$여기서 Z는 모든 spot rate에 더해지는 일정한 스프레드입니다.
Module Quiz 실전 연습
실전A 20-year, 10% annual-pay bond has a par value of $1,000. What is the price of the bond if it has a yield-to-maturity of 15%?
해설: 계산기 입력: N = 20; I/Y = 15; FV = 1,000; PMT = 100; CPT → PV = -$687.03
YTM이 쿠폰율보다 높으므로 채권은 할인된 가격에 거래됩니다.
An analyst observes a 5-year, 10% semiannual-pay bond. The face amount is £1,000. The analyst believes that the yield-to-maturity on a semiannual bond basis should be 15%. Based on this yield estimate, the price of this bond would be:
해설: 반기 지급 채권이므로:
- • N = 10 (5년 × 2)
- • I/Y = 7.5 (15% ÷ 2)
- • PMT = 50 (100 ÷ 2)
- • FV = 1,000
- • CPT → PV = -£828.40
If spot rates are 3.2% for one year, 3.4% for two years, and 3.5% for three years, the price of a $100,000 face value, 3-year, annual-pay bond with a coupon rate of 4% is:
해설: Spot rates를 사용한 가치평가:
An investor paid a full price of $1,059.04 each for 100 bonds. The purchase was between coupon dates, and accrued interest was $23.54 per bond. What is each bond's flat price?
해설: Full price는 경과이자를 포함하고, Flat price는 포함하지 않습니다.
Flat price = Full price - Accrued interest = $1,059.04 - $23.54 = $1,035.50
A $1,000, 5%, 20-year annual-pay bond has a YTM of 6.5%. If the YTM remains unchanged, how much will the bond value increase over the next three years?
해설: Constant-yield price trajectory를 계산합니다:
- • 현재 가격 (N=20): PV = -$834.72
- • 3년 후 가격 (N=17): PV = -$848.34
- • 가격 증가 = $848.34 - $834.72 = $13.62
채권이 discount로 거래되므로 만기가 다가올수록 par value로 수렴합니다.
Duration (듀레이션):
• 금리 1% 변화에 대한 채권 가격의 % 변화를 근사
• 채권의 평균 회수기간 개념
• Modified Duration = -가격변화% / 수익률변화%
Convexity (볼록성):
• Duration만으로는 포착할 수 없는 비선형 관계 보정
• 금리가 크게 변할 때 더 정확한 가격 예측
• Positive convexity는 투자자에게 유리 (상승 > 하락)
실무에서는 이 두 지표를 함께 사용하여 포트폴리오의 금리 리스크를 관리합니다.
핵심 요약 및 시험 대비 포인트
시험에 자주 나오는 핵심 개념
Bond Valuation 기본
• Price-Yield 역관계
• Premium/Discount/Par 조건
• Convexity의 긍정적 효과
Spot Rates vs YTM
• Spot rates: 각 기간별 할인율
• YTM: 평균 할인율 개념
• No-arbitrage pricing 이해
Yield Measures
• Periodicity와 EAY 관계
• Semiannual bond basis 계산
• BEY = 2 × semiannual rate
Forward Rates
• (1+S₂)² = (1+S₁)(1+1y1y)
• Forward rate 표기법 암기
• Bootstrapping 과정 이해
Yield Spreads
• G-spread: 단순 차이
• Z-spread: 모든 spot rate에 추가
• OAS = Z-spread - Option value
• Semiannual bond: N과 I/Y를 2배로, PMT는 반으로
• Full price = Flat price + Accrued interest
• Callable bond: OAS < Z-spread (항상!)
• Discount bond는 만기 접근시 가격 상승
• Forward rate ≠ 미래 실제 금리 (예상일 뿐)